\def\vector#1{\boldsymbol{#1}}

\newcommand{\argmax}{\mathop{\rm argmax}\limits}

\newcommand{\argmin}{\mathop{\rm argmin}\limits}

カイ二乗分布

2017年10月1日

定義と性質

$\vector{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_k)$ が標準正規分布に従う確率変数であるとき、その自乗和 $Z = \sum_{i=1}^k x_i^2$ は自由度 $k$ のカイ二乗分布に従う ( $\chi_k^2$ と表す)。確率密度関数は $f(z;k) = \frac{e^{-\frac{1}{2}z}z^{\frac{1}{2}k-1}}{2^{\frac{1}{2}k}\Gamma(\frac{1}{2}k)}, z \gt 0$ 平均 $k$ 、分散 $2k$ 、最頻値は $k \leq 2$ のとき 0 となりそれ以外では $k-2$ 。カイ二乗分布はガンマ分布の特別な場合。 $k=2$ のときカイ二乗分布は指数分布と一致する。