\def\vector#1{\boldsymbol{#1}}

ベルヌーイ分布

2017年10月4日

0 = 黒、1 = 赤として赤の出る確率 $p$ を調整できるベルヌーイ試行のシミュレーション。+1 ボタンを押すと試行を 1 回行う。

\hat{x}=

0 ,

n=

0 , 期待値

E=

0 , 分散

\sigma^2=

0 , 平均

\bar{\hat{b}}=

0 , 標準誤差

\sigma_{\hat{b}}=

$b$	0	1
確率 $P(b)$
$x_b$ 期待値 $nP(b)$
観測回数 $N_b$

定義と性質

結果が {0, 1}、{true, false}、{OK, NG} といった 2 値しかとりえない独立した事象の試みをベルヌーイ試行 (bernoulli trial) と呼ぶ。これらの結果は統計で扱う便宜上 $b \in \{0,1\}$ に置き換えて考える。

ベルヌーイ試行において確率 $0 \leq p \leq 1$ で 1 が出る場合 $\sum_{b=0}^1 P(b) = 1$ より: $\begin{align*} P(b) & = \left\{\begin{array}{ll} p & (b = 0) \\ 1 - p & (b = 1) \end{array} \right. \\ & = p^b(1-p)^{1-b} \end{align*}$

この $p$ をパラメータとした $b$ の確率分布 $P(b; p)$ をベルヌーイ分布 (bernoulli distribution) と呼ぶ。ベルヌーイ試行を $n$ 回行ったときの 1 の観測回数の分布は二項分布で表される。また 2 値ではなく $k$ 値に一般化した分布はカテゴリカル分布となる。

アルゴリズム

ベルヌーイ試行関数

呼び出しごとに確率 $p$ で true を返すベルヌーイ試行関数を考える。この場合、一般的なプログラミング言語で用意されている $[0, 1)$ の範囲を取る一様疑似乱数が $p$ より小さいかで判定すれば良い。

def trial(p:Double):Boolean = math.random() < p

なお関数に与えられた p が $0 \leq p \lt 1$ の条件を満たしていない場合の対処は省略している。実行結果は以下の通り。

scala> trial(0.6)
res1: Boolean = false

scala> trial(0.6)
res0: Boolean = true

scala> trial(0.6)
res1: Boolean = true

確率関数

この程度の条件であれば実装上はべき乗を使用するより if で分岐したほうが計算量が少なくコードの可視性も損ねない。

def p(p:Double)(b:Boolean):Double = if(b) p else (1 - p)

上記は Scala のカリー化を使用している。引数 p=0.6 を指定した時点でパラメータ $p=0.6$ を束縛した関数 (つまり確率分布が特徴づけされた確率関数) が得られるので確率分布を扱う上では便利かもしれない。

scala> val p6 = p(0.6) _
p6: Boolean => Double = $$Lambda$1087/1558931350@2aa176de

scala> p6(true)
res0: Double = 0.6

scala> p6(false)
res1: Double = 0.4

scala> p(0.75)(true)
res2: Double = 0.75

ベルヌーイ分布

定義と性質

アルゴリズム

ベルヌーイ試行関数

確率関数

参照