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群論

2019年10月10日 #群論

概要

集合とその演算や作用によって定まる構造を代数的構造という。ある集合 $G$ 上の要素 $a,b \in G$ に対して $c = a \ast b \in G$ となるような何らかの演算 $\ast$ が定義されているとき、集合 $G$ は代数系であり $(G,\ast)$ や単に $\mathbb{G}$ と表される。

概要
群・環・体
群
1. 巡回群
2. 加法群と乗法群
写像
参考文献

群・環・体

集合 $G$ 上に定義されるある二項演算子 $*$ が次の 1, 2, 3 の条件を満たすとき、集合 $G$ は演算 $*$ のもとで群 (group) であり $\mathbb{G}=(G,*)$ のように表す (単位元 $e$ を持つとき $(G,*,e)$ と表すこともある)。

結合律 (associative law): $\forall a, b, c \in G$ ; $(a * b) * c = a * (b * c)$
集合 $G$ に属する任意の元 $a$ , $b$ , $c$ に対して $a * (b * c) = (a * b) * c$ となる。
単位元 (identity element): $\exists e \in G$ , $\forall a \in G$ ; $a * e = e * a = a$
集合 $G$ に属する任意の元 $a$ に対して $a * e = e * a = a$ となる元 $e \in G$ が存在する。
逆元 (inverse element): $\forall a \in G$ , $\exists a' \in G$ ; $a * a' = a' * a = e$
集合 $G$ に属する任意の元 $a$ に対して $a * a' = a' * a = e$ となる $a' \in G$ が存在する。

また 1 のみを満たす集合と演算を半群 (semigroup)、1, 2 のみを満たす集合と演算をモノイド (monoid) と呼ぶ。群の性質に加えて次の 4 も満たす集合は可換群 (commutative group) またはアーベル群 (abelian group) である。

交換律 (commutative law): $\forall a, b \in G$ ; $a * b = b * a$
集合 $G$ に属する任意の元 $a$ , $b$ に対して $a * b = b * a$ となる。

交換律は演算の二つのオペランド (被演算子) を互いに入れ替えても結果が変わらないことを示している。交換率を満たす演算は可換であると言う。

集合 $G$ 上の 2 種類の二項演算、加法と乗法で定義された代数系で以下の 5, 6, 7 を満たすものは環 (ring) である。

集合 $G$ は加法に対して可換群となる。
集合 $G$ は乗法に対して半群となる。
分配律 (distributive law): $\forall a, b, c \in G$ ; $a(b+c)=ab + ac$ , $(a+b)c = ac + bc$
集合 $G$ に属する任意の $a$ , $b$ , $c$ に対して $a(b+c)=ab + ac$ かつ $(a+b)c = ac + bc$ である。

乗法に対して可換群となる環を可換環 (commutative ring) と呼ぶ。

環の性質に加えて次の 8 のすべての条件を満たすものは体 (field) である。

乗法に対して可換で、単位元 $e$ が存在し、零元 0 以外のすべての元に逆元が存在する。

		結合律	単位元	逆元	交換律	分配律	具体例
半群		✔				-	自然数に対する加法 $(\mathbb{N},+)$
モノイド		✔	✔			-	自然数に対する乗法 $(\mathbb{N},\times,1)$ , 0 を含む自然数に対する加法 $(\mathbb{N} \cup \{0\},+,0)$
群		✔	✔	✔		-
可換群		✔	✔	✔	✔	-
環	加法	✔	✔	✔	✔	✔
環	乗法	✔				✔
可換環	加法	✔	✔	✔	✔	✔
可換環	乗法	✔			✔	✔
体	加法/乗法	✔	✔	✔^*	✔	✔	有理数 $\mathbb{Q}$ , 実数 $\mathbb{R}$

可換環 $R$ の部分集合 $I \subset R$ が次の 9, 10 の条件を満たすとき、 $I$ は $R$ のイディアル (ideal) である。

$I$ が加法に対し $R$ の部分群となる。
$\forall a \in I$ , $\forall b \in R$ ; $a b \in I$

可換環 $R$ の任意の元 $a$ , $b$ に対して $a + i = y$ となる元 $i$ が $R$ のイディアル $I$ に含まれるとき、

^*乗法に対しては零元 $0$ 以外。

群

群を構成する集合の要素を元 (element) と呼ぶ。 $a^m=e$ となるよう自然数 $m$ が存在するとき元 $a$ は有限位数であり、そのような $m$ の最小値を元 $a$ の位数と呼ぶ。どのような自然数 $m$ についても $a^m\neq e$ であるとき $a$ は無限位数であると言う。

一つの元のみからなる集合 $G=\{x\}$ は演算を $x * x = x$ のように定義できるため群であり自明な群 (trivial group) と呼ぶ。

$G$ が有限集合のとき、つまり位数が有限の群 $\mathbb{G}$ を有限群 (finite group) と呼び、有限群 $\mathbb{G}$ に属する元の個数も (有限集合の意味の) 位数 (order) と呼び $|G|$ と表すことができる。

例えば位数 $n$ の整数集合を $Z_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}$ と定義する。 $a, b \in Z_n$ に対し $a+b$ を $(a + b) \bmod n$ とすると群 $(Z_n, +)$ は有限な可換群となる。同様に、素数 $p$ に対して $Z_p^* = \{1, 2, \ldots, p-1\}$ と定義する。 $a, b \in Z_p^*$ に対して $a \times b$ を $(a \times b) \bmod p$ とすると、 $(Z_p^*, \times)$ は有限な可換群となる。

巡回群

集合 $G$ がある一つの元 $g$ の演算 $\ast$ によって生成される群である場合、 $\mathbb{G}$ は巡回群 (cyclic group) である。つまり $\mathbb{G}$ のすべての元は $g$ の整数冪として表すことができる。 $\mathbb{G} = \{\ldots,g^{-1}\ast g^{-1},g^{-1},1,g,g \ast g,\ldots\} = \langle g \rangle = \{g^n | n \in \mathbb{Z}\}$ ここで $\mathbb{Z}$ は整数の全体からなる集合である。このような $g$ を生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ぶ。巡回群は交換律を持つため可換群である。

結合律: $(g^a \ast g^b) \ast g^c = g^a \ast (g^b \ast g^c)$
単位元: $e=1$
逆元: $g^a \ast g^{-a} = g^{-a} \ast g^a = e = 1$
交換律: $g^a \ast g^b = g^b \ast g^a$

素数の位数 $p$ を持つ有限群 $\mathbb{G}$ について考える。 $\mathbb{G}$ 上の単位元ではない任意の元 $g$ の位数は $p$ の約数となることから $1$ か $p$ かしか取り得ないが、前提 $g \neq e$ より必然的に $p$ となる。これは、元 $g$ を生成元とした巡回群 $\{1,g,g^2,\ldots,g^{p-1}\}$ が群 $\mathbb{G}$ 自身と一致することを意味している。従って、素数位数を持ち $|\mathbb{G}|\neq 1$ である群は巡回群となる。

加法群と乗法群

加減法とみなせる演算を持つ群を加法群 (additive group) と呼ぶ。加法群は単位元を 0 とし、 $a$ の逆元を $-a$ で表すことができる可換群である。 $n$ 個の元 $a$ の加算を $a + \ldots + a = na$ と表す。

結合律: $(a + b) + c = a + (b + c)$
単位元: $e=0$
逆元: $a + (-a) = (-a) + a = e = 0$
交換律: $a + b = b + a$

同様に、乗法とみなせる演算を持つ群を乗法群 (multicative group) と呼ぶ。乗法群は単位元を 1 とし、 $a$ の逆元を $a^{-1}$ で表すことができる可換群である。 $a$ と $b$ の乗算を $ab$ と表し、 $n$ 個の元 $a$ の乗算を $a \times \ldots \times a = a^n$ と表す。

結合律: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
単位元: $e=1$
逆元: $a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e = 1$
交換律: $a \times b = b \times a$

巡回群 $\mathbb{G}$ において生成元を $g$ としたとき、

写像

準同形写像・同型写像

ある群 $(A, \ast)$ 上の要素 $x_1, x_2, x_1 \ast x_2 \in A$ に対して $f(x_1) \ast f(x_2) = f(x_1 \ast x_2)$ が成り立つ写像 $f$ を準同型写像 (homomorphism) と呼ぶ。

また準同型写像であり全単射である写像は同型写像 (isomorphism) である。単射で準同型の写像を単準同型写像、全射で準同型の写像を全準同型写像

線形性・双線形性・多重線形性

一つの変数 $x$ を取る写像 $f$ が以下の 2 つの性質を満たすとき $f$ は線形性 (linearity) を持つ^[1]。

加法性または重ね合わせ: 任意の $x,y$ に対して $f(x + y) = f(x) + f(y)$
同次性: 任意の $a,x$ に対して $f(ax) = af(x)$

加法性と同次性を組み合わせることで $f(ax + by) = af(x) + bf(y)$ と表すこともできる。双線形性は単純な線形性を 2 つの変数に拡張した性質である。 $\begin{eqnarray*} f(x_1 + x_2,y) & = & f(x_1,y) + f(x_2,y) \\ f(x,y_1 + y_2) & = & f(x,y_1) + f(x,y_2) \\ f(ax,y) & = & f(x,ay) = af(x,y) \end{eqnarray*}$ このような性質を持つ写像 $f$ を双線形写像と言う。

同様に多重線形性は $n$ 個の変数に拡張したバージョンである。

双線形写像

体 $K$ 上の線形空間 $\mathbb{V}$ , $\mathbb{W}$ , $\mathbb{Z}$ に対して、写像 $f:\mathbb{V} \times \mathbb{W} \to \mathbb{Z}$ がそれぞれの変数に対して $K$ 線形であるとき、すなはち $f(av_1+bv_2,w) = af(v_1,w) + bf(v_2,w), \ \ a,b \in K, v_1, v_2 \in \mathbb{V}, w \in \mathbb{W} \\ f(v,aw_1+bw_2) = af(v,w_1) + bf(v,w_2), \ \ a,b \in K, v \in \mathbb{V}, w_1,w_2 \in \mathbb{W}$ が成り立つとき $f$ は双線形写像であると言う。特に $\mathbb{Z}$ が $\mathbb{K}$ であるとき、 $f$ は双線型形式 (bilinear form) と言う。双線形写像 $\mathbb{V}\times\mathbb{W}\to\mathbb{Z}$ とテンソル積 $\mathbb{V}\otimes\mathbb{W}$ から $\mathbb{Z}$ への線形写像は一対一に対応する。

参考文献

Lecture Notes on Control Systems
John Bethencourt (2015) . ntro to Bilinear Maps

群論

概要

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