乱数検定: RMT 検定

2023年2月8日 #RMTTest #RMT検定

概要

RMT 検定 (random matrix theory test) [1] はデータ列の乱数性を検定するためのアルゴリズム。与えられたデータ列で相互相関行列を作成し、その固有値分布が RMT に基づく理論曲線と一致すれば検定に合格する。

検定対象のデータ列を長さ $L$ の $N$ 個に分割して $L\times N$ 行列 $a_{i,j}$ を作成する。RMT 公式を使うためには $N \ge 500$ であれば十分 [2]。
各列が平均 0、分散 1 となるように正規化する。 $\begin{eqnarray*} G & = & \left( \begin{matrix} g_{1,1} & \ldots & g_{1,N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{L,1} & \ldots & g_{L,N} \end{matrix}\right) \\ g_{i,j} & = & \frac{a_{i,j} - \langle a_j \rangle}{\sqrt{\langle a_j^2\rangle - \langle a_j\rangle^2}} \end{eqnarray*}$
相関行列を算出する。 $C = \frac{1}{L} G^T G$
相関行列 $C$ を $k$ 乗してその体格要素の平均を取り、 $k$ 次のモーメントの理論値を算出する。 $\begin{eqnarray*} m_k & = & \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (C^k)_{i,j} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \lambda_i^k \\ \mu_k & = & \int_{\lambda_-}^{\lambda_+} \lambda^k P_{RMT}(\lambda)\,d\lambda \end{eqnarray*}$ ここで $P_{\rm RMT}(\lambda)$ は次のように表される。 $\begin{eqnarray*} P_{\rm RMT}(\lambda) & = & \frac{Q}{2\pi\lambda} \sqrt{(\lambda_+ - \lambda)(\lambda - \lambda_-)} \\ Q & = & \frac{L}{N} \\ \lambda_\pm & = & 1 + \frac{1}{Q} \pm 2\sqrt{\frac{1}{Q}} \end{eqnarray*}$
誤差 $0 \le e \le 1$ を算出する。 $e = \left( \frac{m_k}{\mu_k} - 1 \right)$

Xin Yang, Ryota Itoi, Mieko Tanaka-Yamawaki, Testing Randomness by Means of Random Matrix Theory, Progress of Theoretical Physics Supplement, Volume 194, May 2012, Pages 73–83, https://doi.org/10.1143/PTPS.194.73
三賀森悠大; 楊欣; 田中美栄子. 乱数度測定器 RMT テストにおける高乱数度判定基準の再考. In: IEICE Conferences Archives. The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers, 2013.